日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 S "KU2L^i_  
}M%P$zyU1,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ^nQxCSfq  
N%n}&y ,"  
　　1、三角函数本质： JHo8=W9  
2K^}o%E  
　　三角函数的本质来源于定义 Yyt%}E=#  
=U 6_x  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 /xUo\]Z;  
fT;Ji,9t]z  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ^=w6WH%G  
r6]&,`h]  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： AwR* <^'W  
]1}Q:991S  
　　推导： W2,=q<8.b  
>>90BiW  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {:SD0+  
S\4XN  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) O"o=|!5-  
G r83xbw/  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) vy7|e;w+K  
Gb# 2d  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 VuSGFI=  
K]W\=I  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） `;6`^U_  
[+c>J1R_  
　　[1] NjRrT 0  
I`q'd,<DK  
　　两角和公式 V=fSH[  
je@A`')xZ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Qs[8`ZRa  
/C6glT#dg  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  6Y(Q8"L  
$<\T/c*-}<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^ ;wIKs  
mY#y6t%c$`  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ?v ,5et85  
?a,Cmc~+!  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) &x"tr#ydY  
Qfc3!D  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }C<w}e/x  
q?EMTl?  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Dk']j|LbSe  
9Or1QgR  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) q@Y\J6  
u#XuR%Bw&  
倍角公式 7mGn!3%i!  
fg ,.C\R"  
　　Sin2A=2SinA•CosA d`':0Ont%  
\fS1BRv  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 RM-=da  
~: }X|d x  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） TfL m!C3-  
.T +q6w7t  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Q l xX9  
:ohW[ IL@  
三倍角公式 NQ]GfwIg  
QM}6v,}v:\  
　　 #t6V[?L  
N<]?wbdtx  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 3ku3>+zIC  
{3IjsR  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) eK3; p[  
6EpDlK  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) vTLs4-wEv  
m}O*n'^ P@  
三倍角公式推导 +D8.uJBVg  
, 9kr-Cq=g  
　　sin3a z[qM7~  
E+HA[>ta  
　　=sin(2a+a) hscq2e%  
/es)[VE  
　　=sin2acosa+cos2asina ~/Nl{+,>?  
gSwl*`  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }<rD~{  
<8%jj'=jQ  
　　=3sina-4sin³a RN sh6>y  
!"&puU%Hr  
　　cos3a wA-F)vAiCC  
<a_*  
　　=cos(2a+a) ! NZP^Q{  
*amF6u5#  
　　=cos2acosa-sin2asina {-2n#b zE  
w<,E6m%b@M  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa |$x=ki_i  
HjK_7  
　　=4cos³a-3cosa ,XhRB%u  
{[A11Z0  
　　sin3a=3sina-4sin³a p]OZAM)Yw  
L%&p*aPQ-  
　　=4sina(3/4-sin²a) {d~{Xo,8  
Lzfs>0`G5  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ^_Z{d%oUE  
&r4.ZK  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) .&Xz b  
_ NG {l[  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) UF0;*-  
e$E\j5d f  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 32N5V%2  
C%b3l&!  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) {PW$ n  
lsTU =ON{  
　　cos3a=4cos³a-3cosa J?m= b ^m  
]!RqE}@3  
　　=4cosa(cos²a-3/4) '*)L=$  
!_x k(g  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] nWL>2$[gxX  
Ws]!ay l  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) }h.W  
MBp] R{Oa  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) PRd5|  
<Fw,ja  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Ce,vA2%3|  
Z 0yb:0X  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)  xU@(-]  
QI\eIf&  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 6KhPKf[Xqv  
HVV=56V  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] rzqYn9  
1%<]\ dJj  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)  rc.)o,  
BS>$=<`F  
　　上述两式相比可得 Jqv[Y;u,  
\51YxBO[d  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) lP+~{Fj@  
K^Mk&n  
半角公式 ,]r2O%/5NK  
h{JxpH  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Dx&[  
8n ! Q  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. .x5?d0Q^  
"2m3w*`,V  
和差化积 @|0ELUO  
&%{z-?&  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =vP]_eu'G  
=P/g XWQ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Q9al` )g  
53F%p[Nyc  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \"+?2s%  
Q0Tg%3w  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4-5jb323  
B,JkRNXmK  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) \*Zw +5B  
l2M2,'6$\  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) AM1^Bxi  
eqxAx wQmE  
积化和差 R5bA8v  
m W\9l  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] G=3achrA$  
&k! ;FA  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]aBats\  
e$Zt6`pW  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]  zwY@U  
z{"AV?>  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] r2~QQ`HdX  
9$X_"Cl  
诱导公式 M`P[@T}  
1f( L`#s  
　　sin(-α) = -sinα N)(`1j]  
PO~S!d  
　　cos(-α) = cosα `=DX7Sqt  
4RGT`3  
　　sin(π/2-α) = cosα O1EIPe  
?qUVJ&  
　　cos(π/2-α) = sinα TE3ha2y>)  
4$,Iz^ )  
　　sin(π/2+α) = cosα S !\UNikp  
S ^W%  
　　cos(π/2+α) = -sinα WFT|!z5"<  
[A} )an+  
　　sin(π-α) = sinα HR4 7UGFV^  
FaL^SD%  
　　cos(π-α) = -cosα z>D9sRT@  
3B6mvKdh`  
　　sin(π+α) = -sinα 73"Cyu2M  
R!eiA^  
　　cos(π+α) = -cosα (Os.M7Bl  
3Ja)1A;  
　　tanA= sinA/cosA Jo C!Du  
7z?'y^6e~  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα IfP)N&u5  
.8} \%w:m  
　　tan（π/2－α）＝cotα [>z5(b9B  
99 +H={x  
　　tan（π－α）＝－tanα 1f&Wy)Y  
VZ15-9  
　　tan（π＋α）＝tanα 3s ~wNr  
4{ Wc%'ul  
万能公式 nPK~hs'k  
a*M/hGhfq  
　　 H#o[0i=  
8G5A Fi.  
其它公式 Am[Md3}  
I))tHS-RM  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 (`'2@   
1>Jyz}IQ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 xLho#[M l  
"2pI*v7P  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 #DQI/X `}  
hc$"Wz7)  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `f>=:B  
Hka'`Fb  
　　对于任意非直角三角形,总有 :X)`xo  
tE1 <K&e{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *D82N/0B\  
>ruo$x  
　　证: q1-/}GFxy  
Y ~+vMJm  
　　A+B=π-C s-xT@qHn  
g~qm+D6}c  
　　tan(A+B)=tan(π-C) YM$t4:W  
:VA?Mu  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %j@}f=KQ4  
=pLr ZV a  
　　整理可得 vrF,  
(#!8h<%9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC GXH5P   
6U8{rFsM  
　　得证 =h. pGW  
Ca1zHp0Q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @kw-A`  
?Wh+~`  
其他非重点三角函数 |?cbU"  
ee0RsFOq  
　　csc(a) = 1/sin(a) d 7hV1!  
CHJYT  
　　sec(a) = 1/cos(a) D52;aWC  
9QMhPO{Ul  
　　 ayTwsF<  
lOQdI?4  
双曲函数 ~o,#,,!  
Q]-#"#  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 $F9-u0)$@  
g t5qXCR  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 oe+ jiE3L  
Dgi%R&'  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) <5 c1  
< ok]LC  
　　公式一： w?D1n$  
9Q!49Q|  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )c& |#|  
) pI|d~r@  
　　sin（2kπ＋α）= sinα _~p%CBtH  
9;][De[-[  
　　cos（2kπ＋α）= cosα bo !] m  
f7':$hH  
　　tan（kπ＋α）= tanα UI)c6hex  
#S?9ra f  
　　cot（kπ＋α）= cotα nQ7#BDG ~  
Il!aXkCV  
　　公式二： !P8e!+\O  
aPN<*J_w  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ZLB3<U  
` iTjCcfY-  
　　sin（π＋α）= -sinα zz#)D{\n  
x 7#3  
　　cos（π＋α）= -cosα &I*I  
@:\ \)hp]D  
　　tan（π＋α）= tanα F^yu<M_o8  
bj.Tq  
　　cot（π＋α）= cotα nN$ A>f$  
BMH`"1sEY  
　　公式三： Q^f?10e  
A3cTa%AV(j  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： \rb:W]=jn  
T\R|Mm)  
　　sin（-α）= -sinα PmFG/&F3  
("EfXD!-  
　　cos（-α）= cosα X'N-5q<Z4  
aAY%u,,r  
　　tan（-α）= -tanα HWJ2')Wm  
"8G.V' fR  
　　cot（-α）= -cotα V5D~]Vc-97  
 7c ;D  
　　公式四： F}(lsW/  
F[B<?M't  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &'\fH  
5WMy@xw=  
　　sin（π-α）= sinα }F@lE\ aw  
QC</Z,,<l'  
　　cos（π-α）= -cosα ']Bi&B8<  
wG=0_M3  
　　tan（π-α）= -tanα @i<SoT-_ E  
^ k;% U  
　　cot（π-α）= -cotα wt D h#  
=$6B  
　　公式五： b7dZieHp  
$|h}=4$j  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ;sy Imv  
,U:fh7E  
　　sin（2π-α）= -sinα HU <"/`TOR  
dF]a3/E,  
　　cos（2π-α）= cosα @@Mr!]!ZJ  
J@'d'E(\  
　　tan（2π-α）= -tanα PpDMpwH  
^6( 0`y  
　　cot（2π-α）= -cotα W4\ xH<acJ  
Z_\._nV  
　　公式六： j|+@ 4\]  
xE,h[?V  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： RbCs3$n$>E  
pf>#UIu L  
　　sin（π/2+α）= cosα 69m K xv  
'm%'|tmB  
　　cos（π/2+α）= -sinα $yy_PR?o  
Y80Uw 1  
　　tan（π/2+α）= -cotα %osAmW  
V_UkG}U{  
　　cot（π/2+α）= -tanα n<TQr6>0U9  
/&@dy|0F  
　　sin（π/2-α）= cosα *#Si%I+yN  
pZ8}_n\HiF  
　　cos（π/2-α）= sinα 1^~Q{n~1/4  
mYP-  
　　tan（π/2-α）= cotα `N t=K  
h>>k  
　　cot（π/2-α）= tanα 9~Mn9wlQa  
rS @0d/h  
　　sin（3π/2+α）= -cosα nm\qAukZB  
^ Al#SQV  
　　cos（3π/2+α）= sinα "Yo%T{  
yNpK ?F  
　　tan（3π/2+α）= -cotα }7 rCUfv6k  
?OVS= W#z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 3@`N.,  
2FEHt  
　　sin（3π/2-α）= -cosα KKLyfy!"l  
H _l/;9B  
　　cos（3π/2-α）= -sinα qTi7QVy[  
mWRI\],  
　　tan（3π/2-α）= cotα F|E+NqGh  
F{F<[NNj  
　　cot（3π/2-α）= tanα Lc`""a ^  
-rfX&t\;w  
　　(以上k∈Z) .}y>[WaTz  
<,I@siuRGM  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 YRd]9O3ya  
/K:Vbi~a  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = zq!g(]bJ  
lAD=~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } S}_kd6  
'-,;'4C  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16293) |  收藏