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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 }EAZ~s7lx  
|Z} k9&P  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. = Y?j R]!  
=Snwl-  
　　1、三角函数本质： 9FJW^ fY  
+/* O s"T2  
　　三角函数的本质来源于定义 {"%!@.N  
O@i8+HG  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 B# fU3  
RWm{j< wMR  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 !~[2A  
t?M,KQt1/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ~2aS%r  
*7-^FZTA  
　　推导： ! (V'h{  
e^|r*K|Oy5  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 dR4V $aV  
Bb~OL\I)  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) arGb!=y  
Zh.SuSJ  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) $<I Ov~7  
:9x6-YvS  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 U6<X4"]!>  
K]@dAsMO  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \&U-zn  
@MdsW;)G  
　　[1] J"NvUot  
m4}<&  
　　两角和公式 {ds724  
BW=$HfZ@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB FgR/y  
8lZu% ,;%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  >T~=oru  
0QISRm.X  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB [DHoX8G  
%_{qPP.m  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB   qbA  
Q.MWQ+H7-  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)  sR~XI  
'n2VIBKA  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) %T9HnqX  
f2\mvVM  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }IP@,H'l  
$rx7"Mf82f  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) P%VxpRl}?  
_* t1  
倍角公式 2B<<\AxFV  
D)|_;paI  
　　Sin2A=2SinA•CosA d$j}qV12  
2F5K S`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tn!q(! F  
AZ%ITRD  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） BKxPv 6Y/  
 Z*,:h&  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） e?CUF;M/  
+-TGio{SS  
三倍角公式 pLY8'I*1,  
(JhR2th'  
　　 ^P=jv-C#a  
K$ ty'<yB  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) .=Ar@(*  
kF]225 Y  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) : @~!?s%  
cod4RL.d`C  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 3Gz S=  
UDH9;3  
三倍角公式推导 O"{DbNw%  
kJiRk'<y  
　　sin3a AP9,[;K3  
j@AAocb  
　　=sin(2a+a) 7W5Itf!<\p  
.SryhGOx  
　　=sin2acosa+cos2asina !GlD2C ~  
KF4 D]vm  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina HNg^N.  
1iKO8  
　　=3sina-4sin³a 8iuv`}}U]M  
EM-j]# :  
　　cos3a F5|>wrF  
\RYvoOEb  
　　=cos(2a+a) \$ LIL0$  
l\ttL_SeJ  
　　=cos2acosa-sin2asina :jM2wy{|  
[kAke-  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa [88w_v zh  
)P-CS P&  
　　=4cos³a-3cosa GJ"I'ax^  
(sla UDanB  
　　sin3a=3sina-4sin³a rW&2? QF  
\A$ZFf%4n  
　　=4sina(3/4-sin²a) xfh%HsWhQ  
.q\4,x80(  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Vc5 ?v s  
0U\ SJ-  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) w[$gygxn G  
-H!#V3Q; W  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) m}-]:"  
hV0{CA(;  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] |v#IB`M\uJ  
bdh4?  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) :pR$>PPw  
xLQ^9  
　　cos3a=4cos³a-3cosa  6%;  
1d&X)Ux  
　　=4cosa(cos²a-3/4) I]BS%2B N  
tq.: ri  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 834%L  
?]?T)J  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) +I8]?]K  
6_hXZ8+g  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) K E__gP(\  
m#`?Y0R  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} xOcEB$Px~3  
wTl65S)  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) *=ZD]W`  
~::w `"L-  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] K X"D-/  
b5f@ <f8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _rouP  
|t_ =~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 'KA%yQ$  
2 vzSg=  
　　上述两式相比可得 s7\wH=' v_  
/h{.GAN  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) E9qUQK  
TFU}o5TY  
半角公式 +sZ!xV})V  
P[Ax g   
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); qh99nF  
`0eZ'1J7  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ,}$x4=u  
NM=p&`E  
和差化积 vpfP`S4Z  
8d}Sa# 3,  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Pf'=RASe!  
_uD;B5(bE  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ub<uc]  
%x1F6L4X%  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] x;8{1pp;(  
|X<073U  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~:AdQ;m  
q xubuFE  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) D>zs8EvV  
]/$q^6.  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) aG"ukdun  
?Tnx{<zKp  
积化和差 y#_Yj;Y%b  
zT\ Q3a:kY  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] gE:9B  
>KQGMJ,iO  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] {YGAg(b`  
,HU;q}IZ(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ]k4C9cu?0  
8 V FG!Wz  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] bR#z=9.jg  
yVpj.u(4  
诱导公式 yU`7jRqs  
DK7CbxS  
　　sin(-α) = -sinα : [5C)!  
lyUBv  
　　cos(-α) = cosα ?6A**6}D  
a@R-BgT  
　　sin(π/2-α) = cosα jwaZe/qn  
y*7v^V7B  
　　cos(π/2-α) = sinα b.^jI]WSvF  
Y}J93h,5  
　　sin(π/2+α) = cosα gyL9`R#BN+  
anfgyU9  
　　cos(π/2+α) = -sinα .~gw3N  
;0GZY  
　　sin(π-α) = sinα Oic  
:Gf0m  
　　cos(π-α) = -cosα h7}O#Rn  
H}m/zQ  
　　sin(π+α) = -sinα ;5@pU.2  
$MY&r O  
　　cos(π+α) = -cosα \.I}/zpw(  
x7u];=%  
　　tanA= sinA/cosA o-)&Lo9x?  
UF"^p&2M8  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα M,cTT&~2  
\YrZ=k5}  
　　tan（π/2－α）＝cotα UI=hW^V  
tZy"rZq  
　　tan（π－α）＝－tanα M;h<K'f  
s$0h> 7R*  
　　tan（π＋α）＝tanα $B<c1;A  
y|GnS`X^  
万能公式 +!11X@0o  
Il<* otW  
　　 0rL,Iw  
exzq980  
其它公式 dqUrGiZ  
j!`Z3 S  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 %L02?uO  
OdI5iiI>\  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 p+MwS97  
e?pX(8g3=  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 p>:7V|<  
7JO">90J!V  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 }sr1q-w  
Tf"eeF  
　　对于任意非直角三角形,总有 p:JFuwMX9A  
Fyf@_[S  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4Z`[PhC`  
x}(C!C  
　　证: 3%n D4Sno  
8Fj2'  
　　A+B=π-C 2 asC2W'  
C3Q!sD\$L  
　　tan(A+B)=tan(π-C) v+Siz)  
E))&x`d  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) I}Z[c nAy  
9.:?wb[rH  
　　整理可得 !@W*,g+d  
a 'ltM [  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KC0 -|Rtd  
&H<RB  
　　得证 8rHy;Wb7  
&!Y!l_!{  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 he5'B(\ x)  
P[&K   
其他非重点三角函数 ?sOF5zr<  
O < <  
　　csc(a) = 1/sin(a)  .Y:b,|  
@|!9G\6>  
　　sec(a) = 1/cos(a) f`B..5Svb  
.@&%+GPF  
　　 tOZ~SAEM  
|Y{7sq d  
双曲函数 `s1A$I96/  
M 3Q*  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ? 'U[_  
E*@5)E p  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 nky(0Y]^  
)uD DpLVL  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) w>}~,}/Yo  
Y4_"d oI  
　　公式一： sNMGF;)  
~$MQn[1+w  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 0)L<u* 26  
!\vXttX  
　　sin（2kπ＋α）= sinα rX\Fcm3  
|hp0 E8*b7  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >(=Pn%-  
5QW'N  
　　tan（kπ＋α）= tanα =8Bc29Ku  
Drlp1*yDh  
　　cot（kπ＋α）= cotα {P0hn  
#oJ~;*  
　　公式二： WW u{$<@  
- p&{ n  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 4)&W8,u  
-W4V}CH  
　　sin（π＋α）= -sinα skyj\> .  
<YUkO  
　　cos（π＋α）= -cosα  5;fM)PC2  
~*7ZpQ*8X  
　　tan（π＋α）= tanα A:BSNC  
{:{l Dk[A  
　　cot（π＋α）= cotα 9nL?H,  
kM})TyQ  
　　公式三： v ]:0N4y  
Kx2fZj<ME  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sdewOrCM|  
\=D" TWV  
　　sin（-α）= -sinα |$InP%f  
;o m}=<?@  
　　cos（-α）= cosα BXRl'$q&uE  
;VXg2]T  
　　tan（-α）= -tanα 966D6~  
L\ I `W  
　　cot（-α）= -cotα (|l(L  
A])?s??(#  
　　公式四： y:V?5y<  
-E %;  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： B;6AXQ8[  
>lSC "m  
　　sin（π-α）= sinα  2*S~2s  
QR+4!eNP  
　　cos（π-α）= -cosα CCne?t  
b*K@ d  
　　tan（π-α）= -tanα >By^2cG  
C*-2r1j  
　　cot（π-α）= -cotα 5<PW3Q:  
*utQtyW  
　　公式五： >|[$Y1k  
@Yq}Q\Z  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： "ErrP|E!  
g y+fLOg  
　　sin（2π-α）= -sinα ^-UUywOIY  
So+_.  
　　cos（2π-α）= cosα }S$ &5m\16  
e(b \6JuO  
　　tan（2π-α）= -tanα RG Zw7+K  
,ix;$;:L  
　　cot（2π-α）= -cotα sfF=J6N  
&'$S\jTp  
　　公式六： !XSAn JU:  
K ? ~uo1  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 4,G3BDSz  
#]cUqO8  
　　sin（π/2+α）= cosα < ]#dkB'  
FcfRRb  
　　cos（π/2+α）= -sinα x^dlC6Eh  
H %(8Hw-  
　　tan（π/2+α）= -cotα \H%c[fpL  
X!Xg pa]5  
　　cot（π/2+α）= -tanα R8%E%A-T  
j]2&0O  
　　sin（π/2-α）= cosα j^QMm7["_  
.v>-%RWbJ  
　　cos（π/2-α）= sinα RuM!FoMn3  
R*fU3M"y$!  
　　tan（π/2-α）= cotα mWC"t,  
sN$e,9ATOY  
　　cot（π/2-α）= tanα JQO^J#f1  
}(cL|V  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2lV~ qI  
Z7fy a!>0{  
　　cos（3π/2+α）= sinα kH;` 89Z  
8R-#}Fv.p>  
　　tan（3π/2+α）= -cotα R^b lP*l  
K'[Tl  
　　cot（3π/2+α）= -tanα k>Y=+% /c  
X2n?!YGo  
　　sin（3π/2-α）= -cosα t3t(!^A54`  
'%&8<uT]|  
　　cos（3π/2-α）= -sinα mc~Edjm3  
53iID4HJ  
　　tan（3π/2-α）= cotα  2+H`s-  
; e\n=uk   
　　cot（3π/2-α）= tanα o$\['t}eJ  
g[2 Cheg  
　　(以上k∈Z) "&B`1*/I  
X^`,7s:[  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 YsB I(  
d{Ga+| Bt)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = &}#?a> 7Yy  
n[WV~%5  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } eql5vUUyW  
#%C  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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