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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 5Fto:  
E7!uc]a  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. :Q.W]\c,,  
-($fwMCh  
　　1、三角函数本质： l\ 8 (I  
z;V^Qr;B  
　　三角函数的本质来源于定义 z_#18$B  
GIDV|,md  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 f]VSP+}ye<  
.Z7 o,9ji  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 w{ 8elM?  
~a#"'$g  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `8x!u J+f  
h!{d*D~5  
　　推导： WLY5*u?w  
mKT i <  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ODf gU=<D  
f+(Sp't  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) (+N[/t)0  
kT'@/  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) [L>l C*W;p  
>8 (w8? 2  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 HR&NU#(t5  
:LpuLz/   
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） H*g 3|.|  
mP~+Z^  
　　[1] DC%9<^  
`^+B._Y   
　　两角和公式 ! + %h_  
$\&nP>g7  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ZaN((g7  
Oqz3r,8  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  v6~ih-=|  
m5Vt> B,  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB $ NQVy*C/  
(30)%<fx  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB C1@a#r  
,rFTz$  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \};<+u|-%$  
3? L@P  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) - ons3Y(#  
 u0Ax02-  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n':O `*S  
/xf[2eg  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) WE^3M]j$w  
O Oi5  
倍角公式 W`.LPT8R`P  
E~<" {g  
　　Sin2A=2SinA•CosA g;|0mFqD  
X`,5fXsu d  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 OPjM:=o6>  
q86"4MbRd  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） %xy(f(=r'  
fl2Ez:%  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） D3P*35wp  
h.aP  
三倍角公式 * m,k  
_;%{"O{w  
　　 I ?i]1KP  
zI[j<r  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) z ukg\Wxg  
4^oh t7%/  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) F G? K#g  
'd?Fl13  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) -'jTq^( 30  
g^a#8M  
三倍角公式推导 McjltT9s8q  
O7 wD?e_  
　　sin3a ,d^Og  
d2]gS-0m  
　　=sin(2a+a) ~|ot9tA.  
Irm[/}  
　　=sin2acosa+cos2asina E%IZ[2<  
q\dTLA/V  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ]u~GDa0CT  
+)j|g7<e?k  
　　=3sina-4sin³a t:U6Zg  
a;>qZ=`J+x  
　　cos3a /]9~TyBu  
5(T57~]B:>  
　　=cos(2a+a) uz<^[`  
)9;|!l  
　　=cos2acosa-sin2asina Nsy$~   
Q"_51&2ad  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \[^nmFY  
6'byd  
　　=4cos³a-3cosa |a`_=  
Byv%~(B  
　　sin3a=3sina-4sin³a "}4ZDp8  
(5V?T`?-u  
　　=4sina(3/4-sin²a) F $N) $Qm  
5 8B^;&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] zQj~GOX7  
(@\{i1{:./  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) "b A 33PZ{  
#o|&`Rm@.  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Dx8rPuy#  
bgrg:  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] -^>?zs43b  
L^8zU$_"@  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) MIG*M1["  
:=p|6\E  
　　cos3a=4cos³a-3cosa iE=A\=ctO  
.y2[WBD  
　　=4cosa(cos²a-3/4) V/='d`9  
0k?*%=\]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *^_h:W+N`  
@b'>p$  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) -%eoE?QZW  
!_6maY}V  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )5uvHg6B-  
w, _T3N  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} m^"zg"D*  
#B/PA(  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2zwTzLjJ  
9KM<6. 3i  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] `Zi9qt P  
F;lWVk(W  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 5snS=Yy  
qZ]s#'R  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) NaFNcSqK3  
 >?k'k,  
　　上述两式相比可得 , 1*8rXU&  
'M v#=)a  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) wt"etSO  
 uqw"yP  
半角公式 WcUe>|X#  
[`}3Hq6  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); )lhg:wg d  
fX1+8[R  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. r_ot#d s  
~op/Ti7k  
和差化积 HY}hHH1cW  
M,fQ* x1  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] )#v'\%rTm=  
@X bq`4;~  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?O\j)7MMn~  
Y@!ducOx{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Bs= ;N U  
%.bF6? |  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] NHvD$ORB  
E?N.29X  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) LGF:b_:  
(:U#[OA  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) oNQPIf2j  
32] QKiB  
积化和差 {U  z  
*o7i+HAW>  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] =wn-0k&  
8YAic]  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] iACN" &/ V  
%}2dpR<j!,  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] :dEV&@  
3/@U>0,j  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5 =j?Q]  
k7N "a~  
诱导公式 ~$|d,N/  
fOP$:B$[j  
　　sin(-α) = -sinα Ouvd:C)  
jj (=/V  
　　cos(-α) = cosα eIM!^GqJK4  
O'Vt|>hh]  
　　sin(π/2-α) = cosα *&uIfV  
6MPB)o\  
　　cos(π/2-α) = sinα l;t"Zh*f  
x F$@  
　　sin(π/2+α) = cosα ^XPM\R  
^.[]Jj  
　　cos(π/2+α) = -sinα ril%=LnK3  
LC4b c[Cn  
　　sin(π-α) = sinα /m7 9dA  
Jw 1ppjZ  
　　cos(π-α) = -cosα %_1P ,h  
F7f#/`.96  
　　sin(π+α) = -sinα d$HwO5)`  
mKnD*XI,!  
　　cos(π+α) = -cosα + r3T.5  
_$)jT95P  
　　tanA= sinA/cosA L\az6=D7./  
'lR:?E8  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα WF+kptW6  
0HVT#q=Pq  
　　tan（π/2－α）＝cotα B@E}0%  
%'~{+=b  
　　tan（π－α）＝－tanα i^3z"3c  
/M~;AKw~k  
　　tan（π＋α）＝tanα <Xg*th%  
y C#<-I  
万能公式 =1guq%I8k  
6zGBFy  
　　 Uv Py(#v#  
4 |?z#Ln  
其它公式 Z7cFmr(@6  
.fs4|vRS  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 YeTvR9u81  
b&K 5NK  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 l,Q;{1>>x  
t9o(k\O|YA  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 _yt `VFs  
NkJZ$0A  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 !wm: $  
tZlFyQcP  
　　对于任意非直角三角形,总有 fRXl4  
& zt`Q-;X  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \P;fGc^S  
L`lf2!Z8  
　　证: a a?7w  
U9 ne<D;  
　　A+B=π-C #}v1MX\  
f@w<-  
　　tan(A+B)=tan(π-C) a_k bf  
,oTP E  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) d=)5yl)  
O%zat08v8  
　　整理可得 e-0Ecn<  
# lK?oU  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :ZX Sev,  
\d  .  
　　得证 vaVB`4TC;g  
8iC"tg.b  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ir$=-!4]  
T&x&<$=d  
其他非重点三角函数 [?Bss0!  
f @=4  
　　csc(a) = 1/sin(a) 0$1l8  
>IL;Z$n&  
　　sec(a) = 1/cos(a) L 9[HK  
?4)&C+  
　　 C1IdV  
xKO B'"  
双曲函数 s#g#TZo  
NC{q2B~M  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 :f0b)@5  
}d!40!-  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 "puQ\:XT  
ig (p36 |&  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) I)"ao4'M]  
(/HJg4Qe  
　　公式一： ;GfwyE$U  
v C6L,\  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： q7)4:  
EZQ9.  
　　sin（2kπ＋α）= sinα (|rPjUQ  
GGo5Ia=EK  
　　cos（2kπ＋α）= cosα OQ8Bw~3I  
<MN&\i  
　　tan（kπ＋α）= tanα $T_Wjb  
8,z1]R_A  
　　cot（kπ＋α）= cotα F5\Y**t  
=D2+9 c   
　　公式二： \oWzprw(.  
P9QPZ:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： In. S(Tb  
`GHZ]h.$3v  
　　sin（π＋α）= -sinα `xB.ZVF  
0-!rw(xgi  
　　cos（π＋α）= -cosα T\~h t  
n]F'A?dm  
　　tan（π＋α）= tanα >it5Tewg  
UG#RuXL  
　　cot（π＋α）= cotα z&'Lxa  
~z(H[  
　　公式三： (5VuNkpW  
+ FqD~g  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： " xk#0Lf  
Qz nd3]W  
　　sin（-α）= -sinα <+SL].KzF  
j>;6[K2M  
　　cos（-α）= cosα xAy+NN`/  
^G`>EY2b.  
　　tan（-α）= -tanα MXJ h'1 p  
ZTy\ftv_  
　　cot（-α）= -cotα E`[{2  
iOCKy>cMn  
　　公式四： XTkF8x  
kn7HpxUJ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： usFpA hZ  
3.6 QV,M+  
　　sin（π-α）= sinα 9ZMa/gj3  
8%8KsgBJ  
　　cos（π-α）= -cosα Y:h8n"6_&  
ON q\"K  
　　tan（π-α）= -tanα <$]<u)S  
#(iCjhOq  
　　cot（π-α）= -cotα hA\4A`MUZd  
jWK1mZ$I  
　　公式五： TAL#u:^  
8pt.?:G  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 73d5l8F4iy  
y`S;,|  
　　sin（2π-α）= -sinα UZPM -z e  
KF01<k(3  
　　cos（2π-α）= cosα I@.l^;  
X0X}Lk)' <  
　　tan（2π-α）= -tanα SGfS 0h  
""ODe|W%  
　　cot（2π-α）= -cotα myB%2B kgB  
E/>X  h  
　　公式六： q~<&H6rL  
T6A@9N%  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： zohf3N\  
-kY TN"  
　　sin（π/2+α）= cosα h0&Y9jbh  
G`$&dR4T  
　　cos（π/2+α）= -sinα B%!ZY{DoG  
,yaM&!eCnE  
　　tan（π/2+α）= -cotα la'w}]rbZ  
dsM=Ki) \  
　　cot（π/2+α）= -tanα  F J).o=  
~R3tW6  
　　sin（π/2-α）= cosα JguVa(r)  
J@`h8sN  
　　cos（π/2-α）= sinα v[ ^pXY  
d1W#`X2fd  
　　tan（π/2-α）= cotα U@-  NvCC  
N<]eA _=  
　　cot（π/2-α）= tanα jST[L([rW  
>cod3Xj5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα \n/JRV '}  
[^#:\d  
　　cos（3π/2+α）= sinα B;oDLr  
&R_Q!>+;N  
　　tan（3π/2+α）= -cotα kPo}Rf}a  
(-SGO5.  
　　cot（3π/2+α）= -tanα >R'xR`\/s  
ipVGr9Q   
　　sin（3π/2-α）= -cosα <21x"y R  
 '8)'Wd  
　　cos（3π/2-α）= -sinα *rJ9h0_D  
!sqF/AN<  
　　tan（3π/2-α）= cotα W#0}4D'  
fQ4R9  r  
　　cot（3π/2-α）= tanα  *K/OeqM  
1\q/ yj  
　　(以上k∈Z) uIb t]":`  
S eE!g83O  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 oVS0r_hc  
bJDH]U3p  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = "L,{&[}iq  
* rU3w{  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } `s5E#4   
!Nze cZ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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